통계학(3) 통계적 확률

1. 통계적 확률

정의

• 통계적 확률은 실제 실험이나 관찰을 통해 얻은 데이터를 기반으로 계산됩니다.
• 수학적 확률과 달리, 경험적 데이터를 바탕으로 사건 발생 가능성을 추정합니다.

수식

$$P(A) = \frac{\text{사건 A가 발생한 횟수}}{\text{전체 실험 횟수}}$$

특징

1. 경험 기반: 실제 데이터를 기반으로 확률 계산.
2. 표본 크기: 실험 횟수가 많을수록 더 정확한 값을 얻음 (대수의 법칙).
3. 범위 제한: 모든 확률은 $$0 \leq P(A) \leq 1$$

예시

• 주사위를 60번 던졌을 때, 4가 15번 나왔다면:
  • $$P(A) = \frac{15}{60} = 0.25$$

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2. 확률의 덧셈 법칙 (Addition Rule)

정의

• 두 사건 중 하나 이상이 발생할 확률을 계산할 때 사용.

수식

• 일반적인 경우 (두 사건이 겹칠 때):
  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
• 배반사건 (두 사건이 겹치지 않을 때):
  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

예시

1. 주사위 던지기 (일반적인 경우):

   • A: 홀수 사건 (${1, 3, 5}$), $P(A) = 0.5$
   • B: 4 이상 사건 (${4, 5, 6}$), $P(B) = 0.5$
   • $$A \cap B$$: 둘 다 만족 ({5}), $$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$$
   • 결과: $$P(A \cup B) = 0.5 + 0.5 - \frac{1}{6} = 0.834$$

2. 동전 던지기 (배반사건):

   • A: 앞면 ({Head}), $$P(A) = 0.5$$
   • B: 뒷면 ({Tail}), $$P(B) = 0.5$$
   • $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1$$

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3. 조건부 확률 (Conditional Probability)

정의

• 사건 B가 발생한 조건에서 사건 A가 발생할 확률.

수식

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

특징

1. $$P(A|B) \cdot P(B) = P(A \cap B)$$
   (A와 B의 교집합 확률 계산)
2. $$P(A|B) \neq P(B|A)$$ (일반적으로 다름)

예시

• 주사위 던지기:
  • A: 짝수 ({2, 4, 6}).
  • B: 4 이상 ({4, 5, 6}).
  • $$A \cap B$$: ({4, 6}).
  • 계산:
    • $$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = 0.333$$
    • $$P(B) = \frac{3}{6} = 0.5$$
    • $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.333}{0.5} = 0.666$$
  • 결과: B가 주어졌을 때 A가 발생할 확률은 66.6%.

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4. 확률의 곱셈 법칙 (Multiplication Rule)

정의

• 두 사건이 동시에 발생할 확률 계산.

수식

• 일반적인 경우:
  $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$
• 독립적인 사건:
  $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

예시

1. 일반적인 경우:

   • 주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개.
   • A: 첫 번째로 빨간 공을 꺼냄 $$P(A) = \frac{3}{5}$$
   • B: 두 번째로 빨간 공 $$P(B|A) = \frac{2}{4} = 0.5$$
   • 계산: $$P(A \cap B) = \frac{3}{5} \cdot 0.5 = \frac{3}{10}$$

2. 독립적인 경우:

   • 동전 두 번 던지기:
   • A: 첫 번째로 앞면 (P(A) = 0.5)
   • B: 두 번째로 앞면 (P(B) = 0.5)
   • 계산: $$P(A \cap B) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$$

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5. 독립사건과 종속사건

독립사건

• 한 사건의 발생이 다른 사건에 영향을 미치지 않음.
• 수식: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

종속사건

• 한 사건이 다른 사건의 확률에 영향을 줌.
• 수식: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

예시

• 카드 뽑기 (종속사건):
  • A: 첫 번째 카드로 에이스 $$P(A) = \frac{4}{52}$$
  • B: 두 번째 카드로 에이스 $$P(B|A) = \frac{3}{51}$$
  • 계산: $$P(A \cap B) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652}$$

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배운 점 및 마무리

이번 학습을 통해 확률론의 이론과 실험적 접근을 결합해 확률을 보다 폭넓게 이해할 수 있었다.