통계학(2) 확률론(Probability Theory)

강사님: 오영석 강사님

확률론(Probability Theory) 기초 정리

확률론은 불확실한 상황에서 사건의 가능성을 수학적으로 분석하는 도구

확률의 기본 용어

1. 시행 (Experiment)

• 결과를 예측할 수 없지만 동일 조건에서 반복 가능한 과정 또는 실험.
  • 예시: 주사위 던지기, 동전 던지기.

2. 표본공간 (Sample Space)

• 시행에서 나타날 수 있는 모든 가능한 결과의 집합.
  • 표기: $$S$$.
  • 예시: 주사위 1회의 표본공간 $$S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$$

3. 근원사건

• 표본공간 $S$의 구성원 중 단일한 결과.
  • 예시: 주사위 던지기의 1,2,3,4,5,6

4. 사건 (Event)

• 표본공간 $S$의 부분집합으로, 하나 이상의 결과가 포함된 집합.
  • 예시:
    • A = {1, 3, 5} (홀수),
    • B = {2, 4, 6} (짝수).

5. 합사건

• 두 사건 중 하나 이상이 발생하는 사건.
  • 수식: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
  • 예시:
    • A = {1, 3, 5} (홀수),
    • B = {4, 5, 6} (4 이상),
    • $$A \cup B = {1, 3, 4, 5, 6}$$

6. 곱사건

• 두 사건이 동시에 발생하는 사건.
  • 수식: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$
  • 예시:
    • A = {1, 3, 5} (홀수),
    • B = {4, 5, 6} (4 이상),
    • $$A \cap B = {5}$$

7. 배반사건

• 두 사건이 동시에 발생하지 않는 경우.
  • 예시:
    • A = {1}, B = {2}, $$A \cap B = \emptyset$$

8. 여사건

• 사건 $A$가 발생하지 않는 경우.
  • 수식: $$P(A) + P(A^c) = 1$$
  • 예시:
    • A = {1, 3, 5} (홀수),
    • A^c = {2, 4, 6} (짝수).

---

수학적 확률

1. 정의

• 모든 결과가 동일한 가능성을 가질 때 사건 발생 확률을 수학적으로 계산.
• 특정 사건의 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눔.

2. 수식

• $P(A) = \frac{\text{사건 A가 발생할 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{n}{N}$.

3. 예시

• 주사위 던지기:
  • 표본공간: $$S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$$
  • 사건 A: 짝수가 나오는 사건 $${2, 4, 6}$$
  • 확률:
    • $$P(A) = \frac{3}{6} = 0.5$$

---

요약

• 표본공간: 가능한 모든 결과의 집합.
• 사건: 표본공간의 부분집합.
• 수학적 확률: 전체 경우 중 특정 사건의 발생 비율 계산.

마무리

이번 학습을 통해 확률론의 기초 개념을 체계적으로 이해 할 수 있었다.

추가 학습: [[베이즈 정리 (Bayes' Theorem)]]